Вопрос школьника
Площадь прямоугольного треугольника равна S, а один из острых углов равен α. Найти высоту, опущенную на гипотенузу
Ответ от учителя
Прямоугольный треугольник имеет две катеты и гипотенузу. Один из острых углов равен α, значит, другой острый угол равен 90° — α. Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда площадь треугольника можно выразить как S = ab/2.
Высота, опущенная на гипотенузу, разделяет треугольник на два подобных треугольника. Один из них является прямоугольным треугольником с катетами a и h, а гипотенузой c. Другой треугольник также является прямоугольным с катетами b и h, а гипотенузой c — h.
Из подобия треугольников можно записать два уравнения:
a/h = c/(c — h)
b/h = c/(c — h)
Решая эти уравнения относительно h, получаем:
h = acos(α) = bsin(α)
Таким образом, высота, опущенная на гипотенузу, равна произведению одного катета на косинус острого угла, лежащего напротив этого катета, или на другой катет на синус острого угла, лежащего напротив этого катета.
