Вопрос школьника
Площадь прямоугольного треугольника равна S. Из середины медианы к гипотенузе этого треугольника опущены перпендикуляры на его стороны. Найдите площадь треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится знание о свойствах прямоугольного треугольника и его медиан.
Свойства медиан прямоугольного треугольника:
1. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
2. Медиана, проведенная к катету, делит его на две равные части.
3. Медианы, проведенные к катетам, равны между собой.
4. Медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника.
Из этих свойств нам понадобится первое и четвертое.
Пусть ABC — прямоугольный треугольник, где AB — гипотенуза, BC и AC — катеты. Пусть M — середина гипотенузы AB, а D, E и F — основания перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны BC, AC и AB соответственно.
Так как M — середина гипотенузы AB, то по свойству медианы ее длина равна 2MF. Также по свойству медианы медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника. Поэтому треугольник ABC подобен треугольнику ADF.
Пусть S — площадь треугольника ABC, а S1 — площадь треугольника DEF. Тогда по свойству подобных треугольников отношение площадей треугольников ABC и ADF равно отношению квадратов соответствующих сторон:
S/ADF = AB^2/AM^2
S/ADF = 4
Также по свойству медианы AM = AB/2, поэтому AB^2 = 4AM^2. Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем:
S/ADF = 1
S = S1
Таким образом, площадь треугольника DEF равна площади треугольника, основания которого образованы перпендикулярами, опущенными из середины медианы прямоугольного треугольника на его стороны.
