Вопрос школьника
Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 8√3 см . Вычислите длину боковой стороны трапеции, если градусная мера одного из углов трапеции равна 60°.
Ответ от учителя
Пусть радиус описанной окружности равен R, а боковая сторона трапеции равна a. Так как трапеция равнобедренная, то ее основания равны и равны R. Также из геометрии описанной трапеции известно, что ее высота равна R/2.
Тогда площадь трапеции можно выразить через ее основания и высоту:
S = (a + 2R) * R/2
Также известно, что площадь трапеции равна 8√3 см:
8√3 = (a + 2R) * R/2
Разрешая уравнение относительно a, получаем:
a = 4√3 — 2R
Осталось найти радиус описанной окружности. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного радиусом, боковой стороной трапеции и половиной основания трапеции:
R^2 = (a/2)^2 + (R/2)^2 — a/2 * R/2 * cos(60°)
Учитывая, что cos(60°) = 1/2, получаем:
R^2 = (a/2)^2 + (R/4)^2 — aR/8
Переносим все слагаемые с R на одну сторону и выражаем R:
R = (a^2 + 16√3) / (8a + 4)
Подставляем это выражение для R в формулу для a:
a = 4√3 — 2(a^2 + 16√3) / (8a + 4)
Решая это уравнение, получаем:
a = 4√3 / 3
Таким образом, длина боковой стороны трапеции равна 4√3 / 3 см.
