Вопрос школьника
Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S, а боковая сторона трапеции в два раза больше ее высоты. Найдите площади круга, вписанного в трапецию.
Ответ от учителя
Пусть основания равнобедренной трапеции равны a и b, а ее высота равна h. Тогда, по теореме Пифагора, диагональ трапеции равна:
d = √(h² + ((a-b)/2)²)
Так как трапеция описана около окружности, то ее диагональ равна диаметру окружности, то есть:
d = 2r
где r — радиус вписанной окружности.
Из этих двух уравнений можно выразить радиус вписанной окружности:
r = √(h² + ((a-b)/2)²) / 2
Теперь можно найти площадь вписанной окружности:
S = πr² = π(h² + ((a-b)/2)²) / 4
Осталось выразить a и b через h и S. Площадь трапеции равна:
S = (a+b)h / 2
Так как трапеция равнобедренная, то a = b, и можно записать:
S = ah
Отсюда:
a = S/h
b = S/h
Подставляя эти значения в формулу для площади вписанной окружности, получаем:
S = π(h² + ((S/h-S/h)/2)²) / 4
S = πh² / 4
Ответ: площадь вписанной окружности равна πh² / 4.
