Вопрос школьника
Площадь равнобокой трапеция равна 36√2 см2 а острый угол — 45. Найдите высоту трапеции, если в неё можно вписать окружность.
Ответ от учителя
Для начала, найдем длину оснований трапеции. Пусть она равна a и b (где a > b). Так как трапеция равнобокая, то ее боковые стороны равны. Обозначим эту сторону через c. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой c и катетами a/2 и b/2 (половины оснований трапеции) получаем:
c² = (a/2)² + (b/2)²
Так как острый угол трапеции равен 45 градусам, то ее диагонали равны. Обозначим диагональ через d. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой d и катетами a/2 и h (высотой трапеции) получаем:
d² = (a/2)² + h²
Также, по определению, радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине суммы ее параллельных сторон, то есть:
r = (a + b)/4
Так как вписанная окружность соприкасается со всеми сторонами трапеции, то ее диаметр равен высоте трапеции, то есть:
2r = h
Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из этих четырех уравнений:
c² = (a/2)² + (b/2)²
d² = (a/2)² + h²
r = (a + b)/4
2r = h
Подставляя выражение для r из третьего уравнения в четвертое, получаем:
h = (a + b)/2
Также, из первого уравнения можно выразить c² через a и b:
c² = a² — 2ab + b²
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем:
d² = a² — 2ab + b² + h²
Так как диагонали трапеции равны, то можно написать еще одно уравнение:
d² = 2c²
Подставляя выражение для c², получаем:
d² = 2a² — 4ab + 2b²
Теперь мы имеем систему из четырех уравнений:
d² = 2a² — 4ab + 2b²
d² = a² + h²
r = (a + b)/4
h = (a + b)/2
Решая ее методом подстановки, можно получить:
a = 12√2 см
b = 6√2 см
h = 9√2 см
Таким образом, высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна 9√2 см.
