Вопрос школьника
Площадь ромба равна 48 см2. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба.
Ответ от учителя
Чтобы найти площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба, нужно разбить этот четырёхугольник на два треугольника и найти их площади, а затем сложить их.
Для начала найдём длину стороны ромба. Так как ромб имеет четыре равные стороны, то можно воспользоваться формулой для площади ромба: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 — диагонали ромба. Так как диагонали ромба перпендикулярны и пересекаются в его центре, то они делят ромб на четыре равных треугольника. Пусть d1 — длина большей диагонали, а d2 — длина меньшей диагонали. Тогда каждый из четырёх треугольников будет иметь площадь S1 = (d1 * d2) / 4.
Так как площадь ромба равна 48 см2, то (d1 * d2) / 2 = 48, откуда d1 * d2 = 96. Тогда длина каждой из диагоналей равна √96 = 4√6 см.
Теперь найдём длину каждой стороны ромба. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для одного из треугольников, образованных диагоналями ромба: (4√6)² = a² + a², где a — длина стороны ромба. Решая это уравнение, получаем a = 4√3 см.
Теперь можем найти длину каждой из сторон четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба. Она равна половине длины соответствующей стороны ромба, то есть 2√3 см.
Теперь можем найти площадь каждого из треугольников, образованных диагоналями ромба. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника: S = (a * b) / 2, где a и b — длины сторон треугольника. Так как треугольник, образованный диагоналями ромба, является прямоугольным, то его площадь равна S1 = (2√3 * 2√3) / 2 = 6 см2.
Таким образом, площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба, равна сумме площадей двух треугольников, то есть S = 2S1 = 12 см2.
