Вопрос школьника
Площадь треугольника АВС равна 20√3. Найдите АС, если сторона АВ равна 8 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 5.
Ответ от учителя
Для начала найдем высоту треугольника АВС, опущенную на сторону АС. Обозначим ее через h.
Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: S = 0.5 * АС * h.
Также, площадь треугольника можно выразить через длины сторон и радиус описанной окружности: S = 0.5 * АВ * АС * sin(∠АВС) = 0.5 * АВ * АС * sin(∠АСВ) = 0.5 * АВ * АС * sin(∠ВМС).
Заметим, что медиана ВМ является высотой треугольника ВСМ, а также является биссектрисой угла ВСА. Тогда, по теореме синусов для треугольника ВСА, имеем:
sin(∠ВМС) = sin(∠ВСА) = sin(0.5 * ∠АСВ) = √((s-b)(s-c)/bc),
где s — полупериметр треугольника АВС, b = АВ = 8, c = АС, а ∠АСВ = 2 * ∠ВСА.
Также, по теореме Пифагора для треугольника ВСМ, имеем:
h^2 = VM^2 — (0.5 * АС)^2 = 25 — 16 = 9,
где мы использовали то, что медиана ВМ равна 5.
Теперь можем выразить АС через известные величины:
S = 0.5 * АВ * АС * sin(∠ВМС) = 0.5 * 8 * АС * √((s-b)(s-c)/bc) = 20√3,
h = √9 = 3.
Тогда:
АС = 40 / √3 * sin(∠ВМС) = 40 / √3 * √((s-b)(s-c)/bc) = 40 / √3 * √((6-4)(6-c)/8c) = 20 / √3 * √(3-c/4).
Осталось найти c. Заметим, что из условия задачи следует, что АВ > 0.5 * АС, то есть 8 > 0.5 * c, откуда c < 16. Также, из формулы для площади треугольника имеем: 20√3 = 0.5 * 8 * c * √((s-b)(s-c)/bc) = 2c * √(3-c/4), откуда: c^2 * (3-c/4) = 240^2 / 3^3. Это квадратное уравнение относительно c^2, которое можно решить, получив два корня: c^2 = 48(√7 ± 1). Так как c < 16, то подходит только корень с минусом: c^2 = 48(√7 - 1), c = 4√(3√7 - 3). Тогда: АС = 20 / √3 * √(3-c/4) = 20 / √3 * √(3 - 4√(3√7 - 3) / 16) ≈ 10.
