Вопрос школьника
Площадь треугольника равна 48 см2. Найдите площадь треугольника,
образованного его средними линиями.
Ответ от учителя
Средние линии треугольника соединяют середины его сторон. Они делят треугольник на четыре меньших треугольника, каждый из которых имеет площадь, равную половине площади исходного треугольника.
Таким образом, площадь треугольника, образованного средними линиями, равна сумме площадей этих четырех меньших треугольников.
Чтобы найти площадь каждого из этих треугольников, можно воспользоваться формулой для площади треугольника:
S = 0.5 * a * h
где S — площадь треугольника, a — длина одной из его сторон, h — высота, опущенная на эту сторону.
Так как треугольник равнобедренный, то его средняя линия является медианой и высотой одновременно. Таким образом, длина средней линии равна половине длины соответствующей стороны.
Пусть a, b и c — длины сторон исходного треугольника, тогда длины средних линий равны:
m_a = 0.5 * b
m_b = 0.5 * c
m_c = 0.5 * a
Тогда площадь каждого из меньших треугольников будет равна:
S_1 = 0.5 * m_a * a
S_2 = 0.5 * m_b * b
S_3 = 0.5 * m_c * c
S_4 = 0.5 * m_a * b
Суммируя эти площади, получим:
S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 0.5 * (m_a * a + m_b * b + m_c * c)
Подставляя значения длин средних линий, получим:
S = 0.5 * (0.5 * b * a + 0.5 * c * b + 0.5 * a * c + 0.5 * b * a) = 0.5 * (2 * b * a + 2 * c * b) = b * (a + c)
Таким образом, площадь треугольника, образованного средними линиями, равна половине произведения длин двух его сторон, не соединенных между собой.
В нашем случае, площадь исходного треугольника равна 48 см2. Пусть a, b и c — длины его сторон. Тогда можно воспользоваться формулой Герона для нахождения длин сторон:
p = (a + b + c) / 2
S = sqrt(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)) = 48
Отсюда получаем:
p = (a + b + c) / 2 = 16
(a — b + c) * (-a + b + c) * (a + b — c) * (a + b + c) = 48^2
Так как треугольник существует, то a + b > c, a + c > b, b + c > a. Это означает, что первые три множителя в левой части неравенства положительны, а значит, их произведение тоже положительно. Тогда:
(a + b + c) * (a + b — c) * (a — b + c) * (-a + b + c) = 48^2
Заметим, что (a + b + c) * (a + b — c) * (a — b + c) * (-a + b + c) = 4 * S^2, где S — площадь исходного треугольника. Тогда:
4 * S^2 = 48^2
S = sqrt(48^2 / 4) = 24
Таким образом, площадь треугольника, образованного средними линиями, равна:
S’ = b * (a + c) = 24
Ответ: площадь треугольника, образованного средними линиями, равна 24 см2.
