Вопрос школьника
Площади двух подобных треугольников А1В1С1 и А2В2С2 равны 9 см2 и 16 см2 соответственно. Длина одной из сторон треугольника AlB1C1 равна З см. Вычислите длину соответствующей стороны треугольника А2В2С2.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников: соответствующие стороны подобных треугольников имеют одинаковые отношения.
Пусть сторона А1В1 имеет длину 3 см. Тогда, так как треугольники А1В1С1 и А2В2С2 подобны, соответствующие стороны имеют отношение:
А1А2 : А1В1 = В1В2 : В1С1 = С1С2 : С1А1
Так как площадь треугольника определяется как половина произведения длин двух сторон на синус угла между ними, то отношение площадей треугольников А1В1С1 и А2В2С2 равно:
S1/S2 = (А1В1 * С1А1 * sin(угол А1)) / (А2В2 * С2А2 * sin(угол А2))
Углы А1 и А2 равны, так как треугольники подобны. Подставляя известные значения, получаем:
9/16 = (3 * С1А1) / (А2В2 * С2А2)
Сокращаем на 3 и получаем:
3/16 = С1А1 / (А2В2 * С2А2)
Таким образом, отношение длины стороны А1В1 к длине соответствующей стороны А2В2 равно √(3/16), то есть:
А1В1 / А2В2 = √(3/16)
Длина стороны А2В2 равна:
А2В2 = А1В1 / √(3/16) = 3 / √3 * √(16/3) = 3 * 4/√3 = 4√3 см
Таким образом, длина соответствующей стороны треугольника А2В2С2 равна 4√3 см.
