Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Площади двух подобных треугольников относятся как 64 : 25. Найдите отношение периметров этих треугольников.
Ответ от учителя
Пусть у первого треугольника стороны равны a, b и c, а у второго треугольника соответственно ka, kb и kc, где k — коэффициент подобия. Тогда площади этих треугольников будут относиться как:
S1/S2 = (1/2) * a * b * sin(C) / (1/2) * ka * kb * sin(kC) = a * b * sin(C) / ka * kb * sin(kC) = a * b / ka * kb * (sin(C) / sin(kC))
Так как треугольники подобны, то углы C и kC равны, а значит, отношение площадей равно отношению квадратов соответствующих сторон:
S1/S2 = a^2 * b^2 / (ka)^2 * (kb)^2 = 64/25
Отсюда получаем, что:
(k^2) * (a^2) / a^2 = 64/25
k^2 = 64/25
k = 8/5
Таким образом, отношение периметров этих треугольников будет равно отношению соответствующих сторон:
P1/P2 = (a + b + c) / (ka + kb + kc) = (a + b + c) / (8/5 * a + 8/5 * b + 8/5 * c) = 5/8 * (a + b + c) / (a + b + c) = 5/8
Ответ: отношение периметров этих треугольников равно 5/8.
