Вопрос школьника
Площади равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 32 см2, а градусная мера одного из углов трапеции равна 30°. Вычислите длины сторон трапеции.
Ответ от учителя
Пусть AB и CD — основания равнобедренной трапеции ABCD, а O — центр описанной окружности. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD = a, а BC = AD = b.
Площадь равнобедренной трапеции можно выразить через длины ее оснований и высоту h:
S = (a + b) * h / 2
Также известно, что площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна:
S = (a + b) * r
где r — радиус описанной окружности.
Из этих двух формул можно выразить высоту h:
h = 2S / (a + b)
Также известно, что угол между радиусом и хордой, проведенной к точке пересечения диаметра и хорды, равен половине угла, соответствующего этой хорде. Таким образом, угол AOC равен 60°.
Так как треугольник AOC является равносторонним, то его высота равна r * √3. Тогда высота трапеции равна:
h = 2 * 32 / (a + b) = r * √3
Отсюда можно выразить радиус описанной окружности:
r = 16 * (a + b) / (√3 * (a + b)) = 16 / √3
Теперь можно выразить длины сторон трапеции через радиус описанной окружности:
a = 2r * sin(15°) ≈ 7.32 см
b = 2r * sin(75°) ≈ 17.68 см
Ответ: длины сторон трапеции равны a ≈ 7.32 см и b ≈ 17.68 см.
