Вопрос школьника
Плоское зеркало, расположенное в вертикальной плоскости, может вращаться вокруг горизонтальной оси. На расстоянии r от оси находится светящаяся точка А. Какое расстояние х будет между изображением точки и изображением, которое образуется после поворота зеркала на угол α?
Ответ от учителя
При повороте зеркала на угол α, изображение точки А также повернется на угол α. Расстояние между изображением до оси вращения останется равным r.
Для нахождения расстояния между изображениями до оси вращения, можно воспользоваться геометрической оптикой и законом отражения света.
Изображение точки А будет находиться на пересечении луча, идущего от точки А к зеркалу, и луча, отраженного от зеркала. При этом угол падения равен углу отражения, а падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости, проходящей через точку А и ось вращения зеркала.
При повороте зеркала на угол α, угол падения и угол отражения также изменятся на α. Таким образом, изображение точки А после поворота зеркала будет находиться на пересечении луча, идущего от точки А к зеркалу под углом α, и луча, отраженного от зеркала под углом α.
Таким образом, расстояние между изображениями точки А до оси вращения будет равно расстоянию между точками пересечения этих лучей с осью вращения.
Для нахождения этого расстояния можно воспользоваться геометрической конструкцией. На рисунке ниже показана схема расположения точки А, зеркала и оси вращения до и после поворота зеркала на угол α.
Для нахождения расстояния между изображениями точки А до оси вращения можно провести лучи, идущие от точки А к зеркалу под углами α и -α, и отразив их от зеркала. Точки пересечения отраженных лучей с осью вращения будут соответствовать изображениям точки А после поворота зеркала на угол α.
На рисунке показаны точки пересечения лучей с осью вращения, обозначенные как B и C. Расстояние между этими точками и будет искомым расстоянием между изображениями точки А до оси вращения после поворота зеркала на угол α.
Для нахождения этого расстояния можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями.
Из треугольника AOB можно найти длину отрезка OB:
$$OB = r tan{alpha}$$
Из треугольника AOC можно найти длину отрезка OC:
$$OC = r tan{(-alpha)} = -r tan{alpha}$$
Таким образом, расстояние между изображениями точки А до оси вращения после поворота зеркала на угол α будет равно:
$$BC = |OB — OC| = 2r tan{alpha}$$
Ответ: расстояние между изображением точки А и изображением, которое образуется после поворота зеркала на угол α, равно 2r tan(α).
