Вопрос школьника
Плоскость а проходит через вершину A треугольника ABC и параллельна прямой BC. Отрезки BB1 и CC1 — перпендикуляры плоскости а. Вычислите площадь треугольника ABC, если AB1 = √ 2 см, AC1 =√ 3 см, B1C1 = √ 5 см, а расстояние от прямой BC до плоскости а равно 3 см.
Ответ от учителя
Поскольку плоскость а параллельна прямой BC, то отрезки BB1 и CC1 лежат в этой плоскости и являются ее перпендикулярами. Значит, плоскость а проходит через середину отрезка B1C1, то есть точку M, такую что BM = MC = B1C1/2 = √5/2 см.
Также из условия задачи следует, что расстояние от точки A до плоскости а равно 3 см. Обозначим эту точку пересечения плоскости а с высотой из вершины A как точку H.
Треугольник ABC можно разбить на два треугольника: ABH и ACH. Оба этих треугольника прямоугольные, так как высоты BH и CH являются перпендикулярами к сторонам AB и AC соответственно.
Площадь треугольника ABH равна (AB1 * BH)/2 = (√2 * 3)/2 = 3√2/2 см².
Аналогично, площадь треугольника ACH равна (AC1 * CH)/2 = (√3 * 3)/2 = 3√3/2 см².
Таким образом, площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABH и ACH:
S(ABC) = S(ABH) + S(ACH) = 3√2/2 + 3√3/2 = (3/2)(√2 + √3) см².
Ответ: площадь треугольника ABC равна (3/2)(√2 + √3) см².
