Вопрос школьника
Плоскость, параллельная оси цилиндра, находится от прямой, содержащей ее, на расстоянии, равном 6 см. Длина диагонали получившегося сечения равна 20 см, а радиус основания цилиндра — 10 см. Вычислите объем цилиндра.
Ответ от учителя
Пусть плоскость, параллельная оси цилиндра, имеет уравнение $ax+by+cz+d=0$, где $a$, $b$ и $c$ — коэффициенты, определяющие направляющий вектор этой плоскости, а $d$ — расстояние от нее до начала координат. Так как плоскость параллельна оси цилиндра, то ее направляющий вектор должен быть параллелен оси цилиндра, то есть иметь координаты $(0,0,1)$. Также из условия задачи следует, что $d=6$.
Для нахождения длины диагонали сечения цилиндра, проведенного плоскостью, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Обозначим радиус цилиндра через $r$. Тогда длина высоты сечения равна $2r$, а длина основания сечения равна $2sqrt{r^2-36}$. Тогда длина диагонали сечения равна:
$$sqrt{(2r)^2+(2sqrt{r^2-36})^2}=sqrt{4r^2+4r^2-144}=2sqrt{2r^2-36}.$$
Из условия задачи следует, что $2sqrt{2r^2-36}=20$, откуда $r^2=64$ и $r=8$.
Теперь можно найти объем цилиндра. Обозначим его через $V$. Тогда:
$$V=pi r^2h=picdot 8^2cdot 2r=picdot 64cdot 16=1024pi.$$
Ответ: $V=1024pi$ кубических сантиметров.
