Вопрос школьника
Плоскость пересекает рёбра АВ, ВС, CD и DA пирамиды ABCD в точках К, Р, М и Н соответственно; известно, что КРМН — параллелограмм. Докажите, что стороны этого параллелограмма параллельны АС BD.
Ответ от учителя
Для доказательства параллельности сторон параллелограмма КРМН и АС BD воспользуемся свойством плоскостей, проходящих через рёбра пирамиды.
Пусть плоскость, проходящая через рёбра АВ и ВС, пересекает рёбра CD и DA в точках X и Y соответственно. Тогда, по свойству плоскостей, точки К, Р, М и Н лежат на этой плоскости.
Также известно, что КРМН — параллелограмм. Значит, стороны КР и МН параллельны и равны друг другу, а стороны РМ и КН также параллельны и равны друг другу.
Рассмотрим треугольники КРХ и МНХ, где Х — точка пересечения диагоналей параллелограмма КРМН. В этих треугольниках углы при Х равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых КР и МН. Также углы при Р и К, а также углы при М и Н равны, так как стороны КР и МН параллельны.
Значит, треугольники КРХ и МНХ подобны. А это означает, что соотношение сторон КХ/МХ равно соотношению сторон КР/МН. Так как стороны КР и МН равны, то и стороны КХ и МХ равны.
Таким образом, мы доказали, что диагонали параллелограмма КРМН равны. Значит, этот параллелограмм — ромб. А так как диагонали ромба перпендикулярны друг другу, то стороны КР и МН параллельны сторонам АС и BD, соответственно.
Таким образом, мы доказали, что стороны параллелограмма КРМН параллельны АС и BD.
