Вопрос школьника
Плоскость, перпендикулярная диаметру сферы, делит его на отрезки, длины которых 1 см и 3 см. Вычислите отношение площадей частей сферы, на которые плоскость разбивает сферу.
Ответ от учителя
Пусть диаметр сферы равен d, тогда расстояние от центра сферы до плоскости будет равно d/2. Поскольку плоскость перпендикулярна диаметру, она проходит через центр сферы.
Рассмотрим два отрезка, на которые плоскость разбивает сферу. Пусть первый отрезок имеет длину 1 см, а второй — 3 см. Обозначим длины этих отрезков через l1 и l2 соответственно.
Тогда, по теореме Пифагора, получаем:
(l1/2)^2 + r^2 = r^2
(l2/2)^2 + r^2 = r^2
где r — радиус сферы.
Решая эти уравнения, получаем:
r = sqrt((l1/2)^2 + (l2/2)^2)
Теперь вычислим площади частей сферы, на которые плоскость разбивает ее. Обозначим эти площади через S1 и S2.
Площадь сферы равна:
S = 4πr^2
Площадь части сферы, на которую плоскость разбивает ее на отрезки длиной l1 и l2, можно вычислить по формуле:
S1 = 2πr * l1
S2 = 2πr * l2
Тогда отношение площадей частей сферы будет равно:
S1/S2 = (2πr * l1)/(2πr * l2) = l1/l2 = 1/3
Ответ: отношение площадей частей сферы, на которые плоскость разбивает ее, равно 1/3.
