Вопрос школьника
Плоскость, перпендикулярная диаметру сферы радиусом 6 см, разбивает её на две части, площадь одной из которых равна 36п см2. Вычислите длины отрезков, на которые эта плоскость делит диаметр сферы.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством сферы, согласно которому любая плоскость, проходящая через центр сферы, делит её на две равные части. Таким образом, диаметр сферы делится плоскостью на две равные части.
Поскольку одна из частей имеет площадь 36π см², то другая часть также имеет площадь 36π см². Обозначим длину отрезка диаметра, который находится внутри части с площадью 36π см², через х. Тогда длина отрезка диаметра, который находится внутри другой части, будет равна 12 — х (так как диаметр сферы имеет длину 12 см).
Площадь сферы радиусом 6 см равна 4πr² = 144π см². Поскольку плоскость делит сферу на две равные части, то площадь каждой части равна 72π см².
Площадь части с длиной отрезка диаметра х равна площади сегмента сферы, ограниченного диаметром и хордой, проходящей через точку на расстоянии 3 см от центра сферы (так как радиус сферы равен 6 см). Площадь сегмента сферы можно вычислить по формуле:
S = (r²/2)(θ — sinθ),
где r — радиус сферы, θ — центральный угол, соответствующий сегменту.
В данном случае r = 6 см, а хорда проходит на расстоянии 3 см от центра сферы, то есть на расстоянии половины радиуса. Это означает, что центральный угол θ равен 2arcsin(3/6) = π/3 радиан.
Таким образом, площадь сегмента сферы, ограниченного диаметром и хордой, равна:
S = (6²/2)(π/3 — sin(π/3)) = 9π — 9√3.
Площадь части с длиной отрезка диаметра 12 — х также равна 36π см². Следовательно,
9π — 9√3 = 36π — S = 36π — (9π — 9√3) = 27π + 9√3.
Отсюда получаем уравнение:
9π = 18√3,
откуда
х = 3√3.
Таким образом, длина отрезка диаметра, который находится внутри части с площадью 36π см², равна 3√3 см, а длина отрезка диаметра, который находится внутри другой части, равна 12 — 3√3 см.
