Вопрос школьника
Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой р. Из точки A ∈ α опущен перпендикуляр АА1 на прямую р. Из точки В ∈ β опущен перпендикуляр ВВ1 на прямую р. Докажите, что АВ2 = АА21+А1В21 + В1В2.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точки А1, В1 и точка пересечения плоскостей α и β лежат на одной прямой р, так как они все перпендикулярны к этой прямой. Обозначим точку пересечения плоскостей α и β как О.
Также заметим, что треугольники АА1О и ВВ1О являются прямоугольными, так как АА1 и ВВ1 являются высотами этих треугольников. Поэтому мы можем применить теорему Пифагора для этих треугольников:
АА21 = АО2 + ОА12
ВВ21 = ВО2 + ОВ12
Также заметим, что треугольник АОВ является прямоугольным, так как плоскости α и β перпендикулярны. Поэтому мы можем применить теорему Пифагора для этого треугольника:
АВ2 = АО2 + ОВ2
Теперь мы можем объединить эти три уравнения:
АВ2 = АО2 + ОВ2 = АА21 + ВВ21 = АО2 + ОА12 + ВО2 + ОВ12
Заметим, что ОА12 и ВО2 равны между собой, так как они являются высотами треугольника ОАВ, опущенными на одну и ту же сторону. Поэтому мы можем записать:
АВ2 = АО2 + ОВ2 = АА21 + ВВ21 = АО2 + ВО2 + ОА12 + ОВ12 = АА21 + А1О2 + В1О2 + ВВ21
Таким образом, мы доказали, что АВ2 = АА21 + А1О2 + В1О2 + ВВ21, что и требовалось доказать.
