Вопрос школьника
Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости α, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости β
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением перпендикулярности прямых и плоскостей.
Пусть прямая с лежит в плоскости α и пересекает плоскость β по прямой с. Тогда, по определению перпендикулярности, прямая с перпендикулярна как к плоскости α, так и к плоскости β.
Рассмотрим теперь произвольную прямую l, лежащую в плоскости α и перпендикулярную к прямой с. Пусть точка A принадлежит прямой l, а точка B – прямой с. Тогда вектор AB лежит в плоскости α и перпендикулярен к прямой с. Значит, вектор AB перпендикулярен к плоскости β, так как он лежит в плоскости, перпендикулярной к плоскости β.
Таким образом, любая прямая плоскости α, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости β. Доказано.
