Вопрос школьника
По данным на рисунке 378 найдите α − β
Ответ от учителя
На рисунке 378 даны две окружности с центрами O1 и O2, пересекающиеся в точках A и B. Также даны точки C и D на окружностях O1 и O2 соответственно, причем отрезки AC и BD пересекаются в точке E.
Для решения задачи нам понадобится знание свойств углов, образованных хордами и дугами окружности. В частности, если две хорды AB и CD пересекаются в точке E, то угол α между ними равен половине суммы соответствующих дуг AC и BD:
α = 1/2 (arc AC + arc BD)
Аналогично, угол β между хордами BC и AD равен половине суммы соответствующих дуг BC и AD:
β = 1/2 (arc BC + arc AD)
Теперь можем приступить к решению. Из рисунка видно, что дуги AC и BD равны, так как они соответствуют одному и тому же углу. Аналогично, дуги BC и AD равны. Поэтому:
arc AC = arc BD
arc BC = arc AD
Подставляем это в формулы для α и β:
α = 1/2 (arc AC + arc BD) = 1/2 (2 arc AC) = arc AC
β = 1/2 (arc BC + arc AD) = 1/2 (2 arc BC) = arc BC
Таким образом, α равен дуге AC, а β равен дуге BC. Из рисунка видно, что эти дуги составляют половину окружности, то есть:
arc AC + arc BC = 1/2 (2πr) = πr
Следовательно, α + β = πr. Ответ: α − β = α + (-β) = πr — arc BC.
