Вопрос школьника
Подберите какое-либо решение уравнения: а) х + у = 5; б) Зх + у = 5; в) 2х — 3у= 1; г) х2 + у2 = 9; д) х2 + 2ху + у2 = 25; е) х2 — ху = 0.
Ответ от учителя
а) Уравнение х + у = 5 является линейным уравнением с двумя неизвестными. Для его решения можно использовать метод подстановки или метод исключения. Например, метод исключения заключается в том, чтобы выразить одну из переменных через другую и подставить это выражение в уравнение, после чего получить уравнение с одной неизвестной. В данном случае можно выразить у через х: у = 5 — х. Подставляя это выражение в исходное уравнение, получаем х + (5 — х) = 5, откуда х = 2. Значит, у = 5 — 2 = 3. Ответ: х = 2, у = 3.
б) Уравнение Зх + у = 5 также является линейным уравнением с двумя неизвестными. Для его решения можно использовать тот же метод исключения. Выразим у через х: у = 5 — Зх. Подставляя это выражение в уравнение, получаем Зх + (5 — Зх) = 5, откуда х = 1. Значит, у = 5 — Зх = 2.5. Ответ: х = 1, у = 2.5.
в) Уравнение 2х — 3у = 1 является линейным уравнением с двумя неизвестными. Для его решения можно использовать тот же метод исключения. Выразим х через у: х = (1 + 3у) / 2. Подставляя это выражение в уравнение, получаем 2((1 + 3у) / 2) — 3у = 1, откуда у = -1. Значит, х = (1 + 3у) / 2 = -1. Ответ: х = -1, у = -1.
г) Уравнение х2 + у2 = 9 является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом 3. Для его решения можно использовать графический метод, нарисовав график этой окружности и определив точки пересечения с осями координат. Также можно использовать алгебраический метод, выразив одну из переменных через другую и подставив это выражение в уравнение, после чего получить уравнение с одной неизвестной. Например, можно выразить у через х: у = ±√(9 — х2). Подставляя это выражение в уравнение, получаем х2 + (±√(9 — х2))2 = 9, откуда х2 = 4,5. Значит, х = ±√4,5. Ответ: х = ±√4,5, у = ±√4,5.
д) Уравнение х2 + 2ху + у2 = 25 является уравнением окружности с центром в точке (-1, 0) и радиусом 5. Для его решения можно использовать тот же метод, что и в предыдущем пункте. Также можно привести это уравнение к каноническому виду (x + a)2 + (y + b)2 = r2, где (a, b) — координаты центра окружности, r — радиус. Для этого нужно дополнить выражение х2 + 2ху + у2 до полного квадрата: (х + у)2 — 2ху = 25, откуда (х + у)2 = 2ху + 25. Заменяя ху на (у2 — х2) / 2, получаем (х + у)2 = 25 — (у2 — х2), или (х + 1)2 + y2 = 25. Значит, центр окружности имеет координаты (-1, 0), а радиус равен 5. Ответ: х = -1 ± 4, у = 0.
е) Уравнение х2 — ху = 0 можно привести к виду х(х — у) = 0. Значит, либо х = 0, либо х — у = 0, то есть х = у. Ответ: х = у или х = 0.
