Вопрос школьника
Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если:
1) AB = 1 м, AC = 1,5 м, BC = 2 м; A1B1 = 10см, A1C1 = 15 см, B1C1 =20 см;
2) AB = 1 м, AC = 2 м, BC = 1,5 м; A1B1 = 8дм, A1C1 = 16 дм, B1C1 =12 дм;
3) AB = 1 м, AC = 2 м, BC = 1,25 м; A1B1 = 10 см, A1C1 = 20 см, B1C1 =30 см;
Ответ от учителя
Для того, чтобы определить, подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, нужно проверить выполнение двух условий:
1. Углы треугольников должны быть равными.
2. Отношения соответствующих сторон треугольников должны быть равными.
1) AB = 1 м, AC = 1,5 м, BC = 2 м; A1B1 = 10см, A1C1 = 15 см, B1C1 =20 см;
Для начала найдем углы треугольника ABC. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:
cos(A) = (b^2 + c^2 — a^2) / 2bc
cos(B) = (a^2 + c^2 — b^2) / 2ac
cos(C) = (a^2 + b^2 — c^2) / 2ab
где a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — соответствующие углы.
Подставим значения сторон треугольника ABC:
cos(A) = (2^2 + 1.5^2 — 1^2) / (2 * 2 * 1.5) = 0.5
cos(B) = (2^2 + 1^2 — 1.5^2) / (2 * 2 * 1) = 0.25
cos(C) = (1^2 + 1.5^2 — 2^2) / (2 * 1 * 1.5) = 0.25
Найдем углы:
A = arccos(0.5) ≈ 60.0°
B = arccos(0.25) ≈ 75.5°
C = arccos(0.25) ≈ 75.5°
Теперь найдем углы треугольника A1B1C1. Для этого также воспользуемся теоремой косинусов:
cos(A1) = (B1C1^2 + A1C1^2 — A1B1^2) / 2B1C1 * A1C1
cos(B1) = (A1B1^2 + A1C1^2 — B1C1^2) / 2A1B1 * A1C1
cos(C1) = (A1B1^2 + B1C1^2 — A1C1^2) / 2A1B1 * B1C1
Подставим значения сторон треугольника A1B1C1:
cos(A1) = (20^2 + 15^2 — 10^2) / (2 * 20 * 15) = 0.75
cos(B1) = (10^2 + 15^2 — 20^2) / (2 * 10 * 15) = -0.25
cos(C1) = (10^2 + 20^2 — 15^2) / (2 * 10 * 20) = 0.375
Заметим, что угол B1 получился отрицательным. Это означает, что треугольник A1B1C1 не существует, так как сумма двух катетов (A1B1 и A1C1) меньше гипотенузы (B1C1). Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 не подобны.
2) AB = 1 м, AC = 2 м, BC = 1,5 м; A1B1 = 8дм, A1C1 = 16 дм, B1C1 =12 дм;
Найдем углы треугольника ABC:
cos(A) = (1.5^2 + 2^2 — 1^2) / (2 * 1.5 * 2) = 0.625
cos(B) = (1^2 + 2^2 — 1.5^2) / (2 * 1 * 2) = 0.25
cos(C) = (1^2 + 1.5^2 — 2^2) / (2 * 1 * 1.5) = -0.25
Заметим, что угол C получился отрицательным. Это означает, что треугольник ABC не существует, так как сумма двух катетов (AB и AC) меньше гипотенузы (BC). Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 не подобны.
3) AB = 1 м, AC = 2 м, BC = 1,25 м; A1B1 = 10 см, A1C1 = 20 см, B1C1 =30 см;
Найдем углы треугольника ABC:
cos(A) = (1.25^2 + 2^2 — 1^2) / (2 * 1.25 * 2) = 0.8
cos(B) = (1^2 + 2^2 — 1.25^2) / (2 * 1 * 2) = 0.5625
cos(C) = (1^2 + 1.25^2 — 2^2) / (2 * 1 * 1.25) = 0.24
Найдем углы треугольника A1B1C1:
cos(A1) = (30^2 + 20^2 — 10^2) / (2 * 30 * 20) = 0.75
cos(B1) = (10^2 + 20^2 — 30^2) / (2 * 10 * 20) = -0.75
cos(C1) = (10^2 + 30^2 — 20^2) / (2 * 10 * 30) = 0.5
Заметим, что угол B1 получился отрицательным. Это означает, что треугольник A1B1C1 не существует, так как сумма двух катетов (A1B1 и B1C1) меньше гипотенузы (A1C1). Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 не подобны.
Итак, во всех трех случаях треугольники ABC и A1B1C1 не подобны.
