Подумайте, где в рассуждениях, показывающих справедливость соотношения Эйлера, использовалась выпуклость многогранника.

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

Подумайте, где в рассуждениях, показывающих справедливость соотношения Эйлера, использовалась выпуклость многогранника.

Ответ от учителя

Соотношение Эйлера связывает количество вершин, ребер и граней многогранника: V — E + F = 2, где V — количество вершин, E — количество ребер, F — количество граней. Это соотношение является одним из основных результатов теории многогранников.

Выпуклость многогранника играет важную роль в доказательстве справедливости соотношения Эйлера. Для начала, заметим, что соотношение Эйлера верно только для выпуклых многогранников. Для невыпуклых многогранников оно может не выполняться.

Для доказательства справедливости соотношения Эйлера используется метод индукции по числу граней многогранника. Базовый случай — это многогранник с одной гранью, который является выпуклым многоугольником. Для такого многоугольника соотношение Эйлера принимает вид V — E + 1 = 2, что является очевидным.

Далее, предполагается, что соотношение Эйлера верно для всех выпуклых многогранников с числом граней меньше, чем у рассматриваемого многогранника. Рассматривается произвольный выпуклый многогранник с F гранями. Выбирается произвольная грань многогранника и рассматриваются ее ребра. Эти ребра разбивают грань на несколько меньших граней. При этом каждая из этих граней имеет меньшее число граней, чем исходный многогранник.

Для каждой из меньших граней применяется предположение индукции, и получается, что соотношение Эйлера верно для каждой из них. Затем рассматривается многогранник, полученный из исходного многогранника удалением выбранной грани и всех ее ребер. Этот многогранник имеет на одну грань меньше, чем исходный многогранник, и по предположению индукции для него также верно соотношение Эйлера.

Теперь рассмотрим, как выпуклость многогранника используется в этом доказательстве. Во-первых, для того чтобы разбить грань на меньшие грани, необходимо использовать свойство выпуклости многогранника. Именно благодаря этому свойству можно утверждать, что любая грань многогранника может быть разбита на меньшие грани, и что эти грани также будут выпуклыми многогранниками.

Во-вторых, свойство выпуклости многогранника используется для доказательства того, что многогранник, полученный удалением грани и ее ребер, также является выпуклым. Для этого необходимо показать, что любая точка, лежащая внутри исходного многогранника, также лежит внутри нового многогранника. Это следует из того, что исходный многогранник был выпуклым, и что удаление грани и ее ребер не нарушает выпуклости многогранника.

Таким образом, выпуклость многогранника играет важную роль в доказательстве справедливости соотношения Эйлера. Без этого свойства невозможно было бы разбить грань на меньшие грани и доказать, что новый многогранник также является выпуклым.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *