Вопрос школьника
Показать, что электрическое поле, образованное заряженным диском, в предельных случаях переходит в электрическое поле:
а) бесконечной заряженной плоскости;
б) точечного заряда.
Ответ от учителя
Электрическое поле, образованное заряженным диском, можно выразить через формулу Пуассона:
$$vec{E}(vec{r}) = frac{1}{4piepsilon_0}int_V frac{rho(vec{r’})}{|vec{r}-vec{r’}|^3}(vec{r}-vec{r’})dV’$$
где $rho(vec{r’})$ — плотность заряда в точке $vec{r’}$, $V$ — объем диска, $epsilon_0$ — электрическая постоянная.
Для предельных случаев, когда размеры диска стремятся к бесконечности, можно считать, что плотность заряда распределена равномерно по всей площади диска. Тогда формула Пуассона принимает вид:
$$vec{E}(vec{r}) = frac{sigma}{2epsilon_0}int_S frac{(vec{r}-vec{r’})}{|vec{r}-vec{r’}|^3}dS’$$
где $sigma$ — поверхностная плотность заряда на диске, $S$ — площадь диска.
а) Для случая бесконечной заряженной плоскости поверхностная плотность заряда также распределена равномерно по всей площади. Тогда формула Пуассона принимает вид:
$$vec{E}(vec{r}) = frac{sigma}{2epsilon_0}int_S frac{vec{n}}{|vec{r}-vec{r’}|^2}dS’$$
где $vec{n}$ — единичный вектор нормали к плоскости.
Интеграл в этой формуле можно вычислить аналитически, и он дает следующий результат:
$$vec{E}(vec{r}) = frac{sigma}{2epsilon_0}frac{vec{n}}{epsilon}$$
где $epsilon$ — расстояние от точки $vec{r}$ до плоскости.
Таким образом, в пределе бесконечного диска электрическое поле переходит в электрическое поле бесконечной заряженной плоскости.
б) Для случая точечного заряда поверхностная плотность заряда равна нулю, и формула Пуассона принимает вид:
$$vec{E}(vec{r}) = frac{1}{4piepsilon_0}frac{q}{|vec{r}-vec{r’}|^2}frac{vec{r}-vec{r’}}{|vec{r}-vec{r’}|}$$
где $q$ — заряд точечного заряда.
Эта формула соответствует формуле для электрического поля точечного заряда, что и требовалось доказать.
Таким образом, в предельных случаях электрическое поле, образованное заряженным диском, переходит в электрическое поле бесконечной заряженной плоскости и точечного заряда.
