Вопрос школьника
Положительные числа a1, a2, a3, a4, a5 и a6 удовлетворяют условиям a1 – a4 = a5 – a2 = a3 – a6. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник A1A2A3A4A5A6, все углы которого равны, причем A1A2 = a1, A2A3 = a2, A3A4 = a3, A4A5 = a4, A5A6 = a5, A6A1 = a6 (при данной единице измерения отрезков).
Ответ от учителя
Для начала заметим, что условие a1 – a4 = a5 – a2 = a3 – a6 означает, что отрезки A1A4, A2A5 и A3A6 равны между собой. Обозначим их длину через d.
Теперь рассмотрим треугольники A1A2A6 и A3A4A6. Они имеют общую сторону A6A2 и равные боковые стороны A6A1 и A6A3 (длина каждой из них равна a6 + d). Значит, эти треугольники равны между собой и углы A1A6A4 и A3A6A2 равны.
Аналогично рассмотрим треугольники A2A3A1 и A4A5A1. Они имеют общую сторону A1A3 и равные боковые стороны A1A2 и A1A4 (длина каждой из них равна a1 + d). Значит, эти треугольники равны между собой и углы A3A1A6 и A5A1A4 равны.
Таким образом, мы получили, что углы A1A6A4, A3A6A2, A3A1A6 и A5A1A4 равны между собой. Осталось доказать, что все углы шестиугольника равны.
Для этого заметим, что треугольники A1A2A6 и A3A4A6 равны между собой, а значит, углы A1A6A2 и A3A6A4 равны. Аналогично, треугольники A2A3A1 и A4A5A1 равны между собой, а значит, углы A1A3A2 и A5A1A3 равны. Но тогда углы A1A2A3 и A4A5A6 равны, так как они являются смежными углами при пересечении прямых A1A2A6 и A3A4A6, а также A2A3A1 и A4A5A1.
Таким образом, мы доказали, что все углы шестиугольника равны, а его стороны равны заданным отрезкам. Значит, такой шестиугольник существует.
