Вопрос школьника
Получите уравнение для момента инерции однородного тонкого кольца или обруча радиуса R и массы М относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр масс
Ответ от учителя
Момент инерции однородного тонкого кольца или обруча радиуса R и массы М относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр масс, можно выразить следующим уравнением:
I = MR²
где I — момент инерции, M — масса кольца, R — радиус кольца.
Для вывода этого уравнения можно воспользоваться формулой для момента инерции точечной массы относительно оси вращения:
I = mr²
где m — масса точечной массы, r — расстояние от оси вращения до точечной массы.
Для кольца можно представить его как бесконечное число точечных масс, расположенных на окружности радиуса R с постоянным расстоянием между ними. Таким образом, масса каждой точечной массы будет равна M/N, где N — число точек на окружности. Расстояние от оси вращения до каждой точечной массы будет также равно R.
Тогда момент инерции кольца можно выразить как сумму моментов инерции всех точечных масс:
I = Σ(mᵢrᵢ²)
где Σ — знак суммирования, mᵢ — масса i-ой точечной массы, rᵢ — расстояние от оси вращения до i-ой точечной массы.
Подставляя значения массы и расстояния для каждой точечной массы, получим:
I = Σ((M/N)R²)
Вынося общий множитель за знак суммирования, получим:
I = (M/N)R²Σ(1)
Так как сумма 1 для любого количества точек на окружности равна числу точек, то:
Σ(1) = N
Подставляя это значение в уравнение, получим:
I = (M/N)R²N
Упрощая выражение, получим:
I = MR²
Таким образом, момент инерции однородного тонкого кольца или обруча радиуса R и массы М относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр масс, равен MR².
