Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Получите уравнения моментов инерции шара массой М и радиусом R относительно осей декартовой системы координат
Ответ от учителя
Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр масс, известен и равен:
I = (2/5) * M * R^2
Для получения уравнений моментов инерции шара относительно осей декартовой системы координат необходимо использовать теорему Гюйгенса-Штейнера. Согласно этой теореме, момент инерции тела относительно произвольной оси, параллельной данной оси, проходящей через центр масс тела, равен сумме момента инерции тела относительно данной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для удобства расчетов можно выбрать оси координат таким образом, чтобы ось z проходила через центр масс шара, а оси x и y были параллельны осям симметрии шара. Тогда момент инерции шара относительно оси z будет равен известному моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс, а моменты инерции относительно осей x и y можно выразить с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Момент инерции шара относительно оси x:
I_x = I_z + M * d_y^2
где d_y — расстояние между осями z и x.
Момент инерции шара относительно оси y:
I_y = I_z + M * d_x^2
где d_x — расстояние между осями z и y.
Таким образом, уравнения моментов инерции шара относительно осей декартовой системы координат имеют вид:
I_x = (2/5) * M * R^2 + M * d_y^2
I_y = (2/5) * M * R^2 + M * d_x^2
I_z = (2/5) * M * R^2
где M — масса шара, R — его радиус, d_x и d_y — расстояния между осями z и x, z и y соответственно.
