Вопрос школьника
Посеребренная сфера рассечена на две части плоскостью. На каком расстоянии b от центра сферы проходит эта плоскость, если меньшая отсеченная часть представляет собой сферическое зеркало диаметром d = 0,64 м и с фокусным расстоянием F = 0,65 м?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать свойства сферических зеркал и геометрические соображения.
Известно, что меньшая отсеченная часть сферы представляет собой сферическое зеркало диаметром d = 0,64 м и с фокусным расстоянием F = 0,65 м. Фокусное расстояние определяется как половина радиуса кривизны зеркала, то есть F = R/2, где R — радиус кривизны зеркала. Из этого следует, что радиус кривизны зеркала R = 2F = 1,3 м.
Так как зеркало является частью сферы, то его центр совпадает с центром сферы. Пусть плоскость, рассекающая сферу, проходит на расстоянии b от центра сферы. Тогда расстояние от центра сферы до плоскости, рассекающей сферу, равно R — b.
Согласно свойствам сферических зеркал, отраженный луч проходит через фокальную точку зеркала. Так как фокусное расстояние зеркала F = 0,65 м, то расстояние от зеркала до его фокальной точки равно F/2 = 0,325 м.
Пусть точка A — центр зеркала, точка B — фокальная точка зеркала, а точка C — точка пересечения отраженного луча с плоскостью, рассекающей сферу. Тогда треугольник ABC является прямоугольным, причем угол BAC равен 90 градусов.
Из геометрических соображений следует, что расстояние от точки C до плоскости, рассекающей сферу, равно b — d/2, где d — диаметр зеркала. Также из треугольника ABC следует, что AC = BC = 0,325 м.
Из теоремы Пифагора для треугольника ABC получаем:
AC^2 + BC^2 = AB^2
(0,325)^2 + (0,325)^2 = AB^2
0,105625 + 0,105625 = AB^2
AB^2 = 0,21125
AB = sqrt(0,21125) = 0,459 м
Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости, рассекающей сферу, равно R — b = AC + CB = 0,65 — AB = 0,191 м.
Ответ: плоскость, рассекающая сферу, проходит на расстоянии b = 0,459 м от центра сферы. Меньшая отсеченная часть сферы представляет собой сферическое зеркало диаметром d = 0,64 м и с фокусным расстоянием F = 0,65 м. Расстояние от центра сферы до плоскости, рассекающей сферу, равно 0,191 м.
