Вопрос школьника
Построй в тетради координатный угол и выполни предыдущее задание для точек А (1; 1), В (8; 2) и С (9; 9). Какие гипотезы можно вывести из проведенного исследования? Докажи, что наблюдаемая закономерность не выполняется для прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.
Ответ от учителя
Для построения координатного угла на координатной плоскости необходимо провести оси координат OX и OY, на которых отметить единичные отрезки. Затем, из точки O (0;0) провести лучи, образующие углы с положительным направлением осей координат. На этих лучах отметить точки А (1;1), В (8;2) и С (9;9), соответствующие координаты которых указаны в задании. Полученный угол выглядит следующим образом:
Для выполнения предыдущего задания необходимо найти расстояния между точками А и В, А и С, В и С. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости:
d = √((x2 — x1)² + (y2 — y1)²)
Таким образом, расстояния между точками:
AB = √((8 — 1)² + (2 — 1)²) = √58
AC = √((9 — 1)² + (9 — 1)²) = √128
BC = √((9 — 8)² + (9 — 2)²) = √65
Далее необходимо проверить выполнение неравенства треугольника для каждой из троек точек. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. Таким образом, для треугольника ABC:
AB + AC > BC
√58 + √128 > √65
14,6 > 8,1
AB + BC > AC
√58 + √65 > √128
12,8 > 11,3
AC + BC > AB
√128 + √65 > √58
17,9 > 7,6
Таким образом, неравенство треугольника выполняется для треугольника ABC.
Из проведенного исследования можно вывести гипотезу о том, что для любого треугольника выполнение неравенства треугольника является необходимым условием его существования. Также можно заметить, что чем больше расстояние между точками, тем больше длина соответствующей стороны треугольника.
Для прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см можно построить координатный угол и найти расстояния между его вершинами. Расстояния между точками:
AB = √(12² + 5²) = √169 = 13
AC = 12
BC = 5
Проверим выполнение неравенства треугольника для этого треугольника:
AB + AC > BC
13 + 12 > 5
25 > 5
AB + BC > AC
13 + 5 > 12
18 > 12
AC + BC > AB
12 + 5 > 13
17 > 13
Таким образом, неравенство треугольника выполняется и для прямоугольного треугольника. Однако, можно заметить, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора, которая связывает длины катетов и гипотенузы. Таким образом, для прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см наблюдаемая закономерность не выполняется.
