Вопрос школьника
Постройте изображение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и его сечение плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей грани ABCD и параллельной плоскости ADC1. Докажите, что прямая B1D параллельна плоскости сечения.
Ответ от учителя
Построение изображения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1:
1. Нарисуем основание параллелепипеда ABCD и проведем его диагонали AC и BD.
2. Проведем прямую, параллельную плоскости ADC1, через точку пересечения диагоналей AC и BD. Обозначим эту прямую как l.
3. Проведем через точки A1, B1 и C1 плоскости, параллельные основанию ABCD.
4. Проведем вертикальные линии из точек A1, B1 и C1 до плоскости ABCD. Обозначим точки пересечения этих линий с плоскостью ABCD как A’, B’ и C’.
5. Проведем линии из точек A’, B’ и C’ до точек D1, C1 и B1 соответственно. Обозначим точки пересечения этих линий с плоскостью A1B1C1D1 как D’, C’ и B’.
Таким образом, мы получим изображение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Сечение плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей грани ABCD и параллельной плоскости ADC1:
1. Проведем плоскость, проходящую через точку пересечения диагоналей AC и BD и параллельную плоскости ADC1. Обозначим эту плоскость как P.
2. Проведем линии из точек A, B и C до плоскости P. Обозначим точки пересечения этих линий с плоскостью P как A», B» и C».
3. Проведем линии из точек A», B» и C» до точек D1, C1 и B1 соответственно. Обозначим точки пересечения этих линий с плоскостью A1B1C1D1 как D», C» и B».
Таким образом, мы получим сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью P.
Доказательство того, что прямая B1D параллельна плоскости сечения:
1. Заметим, что прямая B1D лежит в плоскости A1B1C1D1.
2. Плоскость P параллельна плоскости ADC1, а значит, параллельна плоскости A1D1C1.
3. Так как прямая B1D лежит в плоскости A1B1C1D1 и параллельна плоскости A1D1C1, то она параллельна плоскости P.
4. Следовательно, прямая B1D параллельна плоскости сечения.
Таким образом, мы доказали, что прямая B1D параллельна плоскости сечения, проходящей через точку пересечения диагоналей грани ABCD и параллельной плоскости ADC1.
