Вопрос школьника
Постройте точку, равноудаленную от точек А и В и удаленную от точки С на расстояние, равное PQ. Выясните число решений этой задачи в зависимости от расположения данных точек и длины отрезка PQ
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно использовать геометрический подход. Построим на координатной плоскости точки А, В и С, а также отрезок PQ.
Для начала найдем середину отрезка AB, которая будет являться центром окружности, на которой будет лежать искомая точка. Для этого можно воспользоваться формулами координат точки, лежащей на середине отрезка:
$$x_{M} = frac{x_{A} + x_{B}}{2}$$
$$y_{M} = frac{y_{A} + y_{B}}{2}$$
Затем найдем радиус этой окружности, который будет равен расстоянию от центра до точки P:
$$r = sqrt{(x_{P} — x_{M})^2 + (y_{P} — y_{M})^2}$$
Теперь нужно найти точки пересечения этой окружности с прямой, проходящей через точку С и перпендикулярной отрезку PQ. Для этого можно воспользоваться формулами координат точек пересечения окружности и прямой:
$$x_{1,2} = frac{x_{C} + k(y_{P} — y_{C}) pm sqrt{r^2 — k^2(y_{P} — y_{C})^2}}{1 + k^2}$$
$$y_{1,2} = y_{C} + k(x_{1,2} — x_{C})$$
где $k$ — коэффициент наклона перпендикуляра к PQ, который можно найти по формуле:
$$k = -frac{x_{P} — x_{Q}}{y_{P} — y_{Q}}$$
Таким образом, мы получим две точки, которые будут равноудалены от точек А и В и удалены от точки С на расстояние, равное PQ. Если эти точки лежат на отрезке AB, то задача имеет единственное решение. Если же они лежат за пределами отрезка AB, то задача не имеет решений. Если же они лежат на продолжении отрезка AB, то задача имеет два решения.
Таким образом, число решений этой задачи зависит от расположения данных точек и длины отрезка PQ. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то задача не имеет решений. Если точки А, В и С образуют треугольник, то задача имеет одно или два решения в зависимости от длины отрезка PQ и расположения точек на отрезке AB.
