Вопрос школьника
Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки Н, В и М, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведенные из одной вершины.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим свойства описанной окружности треугольника. Она проходит через все вершины треугольника и ее центр находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника в их серединах.
Пусть точка Н лежит на описанной окружности и является основанием высоты, проведенной из вершины А. Тогда, по свойству описанной окружности, угол АНВ равен 90 градусов. Пусть точка В лежит на описанной окружности и является основанием биссектрисы, проведенной из вершины А. Тогда, по свойству биссектрисы, угол АВН равен углу НВМ. Пусть точка М лежит на описанной окружности и является основанием медианы, проведенной из вершины А. Тогда, по свойству медианы, угол АМН равен углу НВВ.
Таким образом, мы получили три угла, которые равны углам треугольника. Из этого следует, что треугольник АНВ подобен треугольнику АМН, а треугольник АНВ подобен треугольнику АВМ. Из этого следует, что треугольник АНВ равнобедренный, а точка Н является серединой стороны ВМ.
Теперь мы можем построить треугольник АНВ, зная его высоту, биссектрису и медиану, проведенные из вершины А. Для этого нужно провести высоту из вершины А к стороне ВМ, найти середину этой стороны (точку Н), провести биссектрису угла А и найти точку пересечения с описанной окружностью (точку В), а затем провести медиану из вершины А к середине стороны ВМ (точке М).
Таким образом, мы построили треугольник АНВ, зная его описанную окружность и точки Н, В и М, через которые проходят высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины А.
