Вопрос школьника
Правильный треугольник ABC вписан в окружность. На стороне ВС построен квадрат, около которого построена окружность Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по разные стороны от ВС, а ВС = 2√3 см.
Ответ от учителя
Пусть центр квадрата на стороне ВС равен D, а центр окружности, описанной около квадрата, равен O. Также пусть центр описанной окружности треугольника ABC равен E.
Так как треугольник ABC — правильный, то угол BAC равен 60 градусов. Также, так как квадрат построен на стороне ВС, то угол BDC равен 90 градусов. Значит, угол BDA равен 45 градусов.
Так как квадрат построен на стороне ВС, то BD равно стороне квадрата, то есть 2√3 см. Значит, AD равно BD/√2, то есть 2 см.
Так как угол BDA равен 45 градусов, то угол BDO равен 45 градусов. Значит, треугольник BDO — равнобедренный, и OD равно BD, то есть 2√3 см.
Также, так как квадрат построен на стороне ВС, то BO равно BD + DO, то есть 4√3 см.
Так как треугольник ABC — правильный, то центр описанной окружности лежит на пересечении медиан. Значит, CE — медиана, и CE равно половине длины стороны BC, то есть √3 см.
Так как треугольник BCO — прямоугольный, то CO равно √(BO^2 — BC^2/4), то есть √(48 — 3) см, то есть 3√3 см.
Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно EO, то есть CE — CO, то есть √3 — 3√3, то есть -2√3 см. Ответ: -2√3 см.
