Вопрос школьника
Правильный восьмиугольник A1A2…A8 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник А3А4А7А8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R
Ответ от учителя
Для доказательства того, что четырёхугольник А3А4А7А8 является прямоугольником, нужно показать, что его диагонали А3А7 и А4А8 пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в восьмиугольник A1A2…A8.
Для этого заметим, что диагонали А3А7 и А4А8 являются перпендикулярами, так как они соединяют противоположные вершины вписанного в окружность восьмиугольника. Также заметим, что точки пересечения диагоналей А3А7 и А4А8 делят каждую диагональ пополам.
Таким образом, мы получаем, что точка пересечения диагоналей А3А7 и А4А8 является центром окружности, вписанной в восьмиугольник A1A2…A8. А значит, четырёхугольник А3А4А7А8 является прямоугольником.
Чтобы выразить площадь этого прямоугольника через радиус R, нужно заметить, что диагонали А3А7 и А4А8 равны между собой и равны диаметру окружности, вписанной в восьмиугольник A1A2…A8. Значит, каждая диагональ равна 2R.
Тогда площадь прямоугольника А3А4А7А8 равна произведению длин его сторон, то есть S = А3А7 * А4А8 = 2R * 2R = 4R^2. Ответ: площадь прямоугольника А3А4А7А8 равна 4R^2.
