Вопрос школьника
Правильный восьмиугольник вписан в окружность. Площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу восьмиугольника, равна 3п. Найдите площадь восьмиугольника.
Ответ от учителя
Площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу восьмиугольника, равна 3π. Это означает, что центральный угол восьмиугольника равен 45 градусам (так как 45 градусов составляет 1/8 от 360 градусов, то есть полного угла окружности).
Так как восьмиугольник вписан в окружность, то его углы равны между собой и составляют по 135 градусов (так как сумма углов восьмиугольника равна 1080 градусов, а восьми углов равны между собой).
Чтобы найти площадь восьмиугольника, нужно разбить его на 8 равных треугольников, проведя из центра окружности линии к вершинам восьмиугольника. Так как центральный угол равен 45 градусам, то каждый из этих треугольников является равнобедренным, а высота проходит через середину стороны.
Таким образом, площадь восьмиугольника равна сумме площадей 8 равнобедренных треугольников. Пусть сторона восьмиугольника равна a, тогда высота каждого треугольника равна a/2, а площадь каждого треугольника равна (a^2)/4.
Таким образом, площадь восьмиугольника равна 8*(a^2)/4 = 2a^2.
Осталось найти значение стороны a. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора, примененной к равнобедренному треугольнику, образованному стороной восьмиугольника, его высотой и радиусом окружности.
Пусть R — радиус окружности, тогда сторона восьмиугольника равна 2R*sin(22.5 градусов) (так как угол между стороной и радиусом равен половине центрального угла, то есть 22.5 градусов).
Высота равнобедренного треугольника равна R*cos(22.5 градусов).
Применяя теорему Пифагора, получаем:
(2R*sin(22.5 градусов))^2 = R^2 — (R*cos(22.5 градусов))^2
Решая это уравнение относительно R, получаем:
R = (2+√2)*a/4
Теперь можно выразить сторону a через радиус R:
a = 4R/(2+√2) = 2R*(2-√2)
Таким образом, площадь восьмиугольника равна:
2a^2 = 2*(2R*(2-√2))^2 = 8R^2*(3-2√2) ≈ 16.97R^2.
