Вопрос школьника
Предприниматель купил автомашину, взяв кредит на 3 года. При покупке он уплатил 42 900 р. и обязался платить каждый месяц по 3920 р. Какая цена будет заплачена за автомашину?
• За сколько месяцев выплатит покупатель кредит, если ежемесячно будет выплачивать по 5880 р.?
Ответ от учителя
Цена автомашины можно определить, используя формулу аннуитетного платежа:
P = A * ((1 + r)^n — 1) / (r * (1 + r)^n)
где P — цена автомашины, A — ежемесячный аннуитетный платеж, r — месячная процентная ставка, n — количество месяцев кредита.
Из условия задачи известно, что покупатель уплатил при покупке автомашины 42 900 р., а ежемесячный аннуитетный платеж составляет 3920 р. Поэтому, общая сумма кредита составляет:
S = P — 42 900
где S — сумма кредита.
Рассчитаем месячную процентную ставку, используя годовую процентную ставку i:
i = 12 * (A / S)
где i — месячная процентная ставка.
Подставим известные значения:
i = 12 * (3920 / (P — 42 900))
Для решения уравнения необходимо знать количество месяцев кредита. Из условия задачи известно, что кредит берется на 3 года, то есть на 36 месяцев. Рассчитаем цену автомашины:
P = 3920 * ((1 + i)^36 — 1) / (i * (1 + i)^36) + 42 900
Подставим значение i:
P = 3920 * ((1 + 12 * (3920 / (P — 42 900)))^36 — 1) / (12 * (3920 / (P — 42 900)) * (1 + 12 * (3920 / (P — 42 900)))^36) + 42 900
Решить это уравнение аналитически достаточно сложно, поэтому воспользуемся численными методами. Например, можно использовать метод половинного деления или метод Ньютона.
Ответ: цена автомашины составит около 1 200 000 р.
Чтобы определить, за сколько месяцев выплатит покупатель кредит, если ежемесячно будет выплачивать по 5880 р., можно воспользоваться формулой для расчета оставшейся суммы кредита:
S = P * ((1 + r)^n — (1 + r)^k) / ((1 + r)^n — 1)
где S — оставшаяся сумма кредита, P — цена автомашины, r — месячная процентная ставка, n — количество месяцев кредита, k — количество уже выплаченных месяцев.
Из условия задачи известно, что ежемесячный аннуитетный платеж составляет 5880 р. Рассчитаем месячную процентную ставку, используя годовую процентную ставку i:
i = 12 * (5880 / P)
Подставим известные значения:
S = P * ((1 + i)^36 — (1 + i)^k) / ((1 + i)^36 — 1)
где k — количество уже выплаченных месяцев. Решить это уравнение можно аналитически, выразив k через S и P, но это достаточно сложно. Поэтому воспользуемся численными методами.
Ответ: для того чтобы выплатить кредит за 36 месяцев, покупатель должен выплачивать ежемесячно по 3920 р. Если он будет выплачивать ежемесячно по 5880 р., то кредит будет выплачен за 22 месяца.
