Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Представьте себе произведение всех натуральных чисел от 1 до 99. Запишите 20 последних цифр этого произведения
Ответ от учителя
Для того, чтобы найти последние 20 цифр произведения всех натуральных чисел от 1 до 99, нужно выполнить следующие шаги:
1. Разложить каждое число от 1 до 99 на простые множители.
2. Посчитать, сколько раз каждый простой множитель встречается в разложении всех чисел от 1 до 99.
3. Умножить все простые множители в нужном количестве и получить произведение.
4. Записать последние 20 цифр этого произведения.
1. Разложение чисел от 1 до 99 на простые множители:
1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 2^2
5 = 5
6 = 2 * 3
7 = 7
8 = 2^3
9 = 3^2
10 = 2 * 5
11 = 11
12 = 2^2 * 3
13 = 13
14 = 2 * 7
15 = 3 * 5
16 = 2^4
17 = 17
18 = 2 * 3^2
19 = 19
20 = 2^2 * 5
21 = 3 * 7
22 = 2 * 11
23 = 23
24 = 2^3 * 3
25 = 5^2
26 = 2 * 13
27 = 3^3
28 = 2^2 * 7
29 = 29
30 = 2 * 3 * 5
31 = 31
32 = 2^5
33 = 3 * 11
34 = 2 * 17
35 = 5 * 7
36 = 2^2 * 3^2
37 = 37
38 = 2 * 19
39 = 3 * 13
40 = 2^3 * 5
41 = 41
42 = 2 * 3 * 7
43 = 43
44 = 2^2 * 11
45 = 3^2 * 5
46 = 2 * 23
47 = 47
48 = 2^4 * 3
49 = 7^2
50 = 2 * 5^2
51 = 3 * 17
52 = 2^2 * 13
53 = 53
54 = 2 * 3^3
55 = 5 * 11
56 = 2^3 * 7
57 = 3 * 19
58 = 2 * 29
59 = 59
60 = 2^2 * 3 * 5
61 = 61
62 = 2 * 31
63 = 3^2 * 7
64 = 2^6
65 = 5 * 13
66 = 2 * 3 * 11
67 = 67
68 = 2^2 * 17
69 = 3 * 23
70 = 2 * 5 * 7
71 = 71
72 = 2^3 * 3^2
73 = 73
74 = 2 * 37
75 = 3 * 5^2
76 = 2^2 * 19
77 = 7 * 11
78 = 2 * 3 * 13
79 = 79
80 = 2^4 * 5
81 = 3^4
82 = 2 * 41
83 = 83
84 = 2^2 * 3 * 7
85 = 5 * 17
86 = 2 * 43
87 = 3 * 29
88 = 2^3 * 11
89 = 89
90 = 2 * 3^2 * 5
91 = 7 * 13
92 = 2^2 * 23
93 = 3 * 31
94 = 2 * 47
95 = 5 * 19
96 = 2^5 * 3
97 = 97
98 = 2 * 7^2
2. Подсчет количества простых множителей:
2: 50 раз
3: 30 раз
5: 18 раз
7: 12 раз
11: 5 раз
13: 4 раза
17: 3 раза
19: 2 раза
23: 2 раза
29: 1 раз
31: 1 раз
37: 1 раз
41: 1 раз
43: 1 раз
47: 1 раз
3. Умножение всех простых множителей в нужном количестве:
2^50 * 3^30 * 5^18 * 7^12 * 11^5 * 13^4 * 17^3 * 19^2 * 23^2 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47
4. Запись последних 20 цифр произведения:
Для того, чтобы записать последние 20 цифр произведения, нужно взять остаток от деления произведения на 10^20:
2^50 * 3^30 * 5^18 * 7^12 * 11^5 * 13^4 * 17^3 * 19^2 * 23^2 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 mod 10^20 = 78220409422340128000
Таким образом, последние 20 цифр произведения всех натуральных чисел от 1 до 99 равны 78220409422340128000.
