Вопрос школьника
Преобразуйте данное числовое неравенство в неравенство, левая часть которого равна квадрату суммы чисел а и b: 1) 2аb < 13; 2) а2 + 4аb > 7; 3) b2 — 3аb > -4; 4) а2 + b2 < -10; 5) 5а2 + b2 < 1; 6) 2ab -b2 > 2.
Ответ от учителя
1) Неравенство 2ab < 13 можно переписать в виде ab < 6.5. Для того чтобы получить неравенство, левая часть которого равна квадрату суммы чисел а и b, нужно воспользоваться формулой (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Подставляем в нее a и b: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Так как мы хотим, чтобы левая часть была равна квадрату суммы a и b, то нам нужно добавить и вычесть b^2: (a+b)^2 - b^2 = a^2 + 2ab. Получаем неравенство (a+b)^2 - b^2 > 6.5.
2) Неравенство а^2 + 4ab > 7 можно переписать в виде а^2 + 4ab — 7 > 0. Для того чтобы получить неравенство, левая часть которого равна квадрату суммы чисел а и b, нужно воспользоваться формулой (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Подставляем в нее a и b: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Так как мы хотим, чтобы левая часть была равна квадрату суммы a и b, то нам нужно выразить b^2 через a и b: b^2 = (a+b)^2 — a^2 — 2ab. Подставляем это выражение в исходное неравенство: а^2 + 4ab — 7 > (a+b)^2 — a^2 — 2ab. Упрощаем: 2a^2 + 2ab — b^2 — 7 > 0.
3) Неравенство b^2 — 3ab > -4 можно переписать в виде b^2 — 3ab + 4 > 0. Для того чтобы получить неравенство, левая часть которого равна квадрату суммы чисел а и b, нужно воспользоваться формулой (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Подставляем в нее a и b: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Так как мы хотим, чтобы левая часть была равна квадрату суммы a и b, то нам нужно выразить a^2 через a и b: a^2 = (a+b)^2 — 2ab — b^2. Подставляем это выражение в исходное неравенство: (a+b)^2 — 5ab + 4 > 0.
4) Неравенство а^2 + b^2 < -10 невозможно преобразовать в неравенство, левая часть которого равна квадрату суммы чисел а и b, так как квадрат суммы чисел всегда неотрицательный, а в данном случае левая часть неравенства отрицательная. 5) Неравенство 5а^2 + b^2 < 1 можно переписать в виде 5а^2 + b^2 - 1 < 0. Для того чтобы получить неравенство, левая часть которого равна квадрату суммы чисел а и b, нужно воспользоваться формулой (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Подставляем в нее a и b: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Так как мы хотим, чтобы левая часть была равна квадрату суммы a и b, то нам нужно выразить 2ab через a и b: 2ab = (a+b)^2 - a^2 - b^2. Подставляем это выражение в исходное неравенство: a^2 + (a+b)^2 - 2b^2 - 1 < 0. 6) Неравенство 2ab - b^2 > 2 можно переписать в виде 2ab — b^2 — 2 > 0. Для того чтобы получить неравенство, левая часть которого равна квадрату суммы чисел а и b, нужно воспользоваться формулой (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Подставляем в нее a и b: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Так как мы хотим, чтобы левая часть была равна квадрату суммы a и b, то нам нужно выразить a^2 через a и b: a^2 = (a+b)^2 — 2ab — b^2. Подставляем это выражение в исходное неравенство: (a+b)^2 — 3b^2 — 2 > 0.
