Вопрос школьника
При каких а и b прямые x + у = -b и x — ау = 2: а) пересекаются в точке (1; 4); б) параллельны; в) совпадают??
Ответ от учителя
а) Для того, чтобы прямые пересекались в точке (1; 4), необходимо, чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнениям обеих прямых. Подставим координаты (1; 4) в уравнения прямых и получим систему уравнений:
1 + 4 = -b (1)
1 — а*4 = 2 (2)
Решим эту систему методом подстановки. Из уравнения (1) найдем b:
b = -5
Подставим это значение в уравнение (2) и найдем а:
1 — а*4 = 2
— а*4 = 1 — 2
— а*4 = -1
а = 1/4
Таким образом, прямые x + у = -5 и x — (1/4)у = 2 пересекаются в точке (1; 4).
б) Для того, чтобы прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент прямой x + у = -b равен -1, а угловой коэффициент прямой x — ау = 2 равен а. Следовательно, чтобы прямые были параллельны, необходимо, чтобы а = -1. Подставим это значение в уравнение второй прямой:
x + у = -b
x — (-1)у = 2
x + у = -b
x + у = 2
Как видно из системы уравнений, прямые не могут быть параллельны, так как они имеют разные коэффициенты при у.
в) Для того, чтобы прямые совпадали, их уравнения должны быть эквивалентными. Уравнение прямой x + у = -b можно записать в виде у = -x — b, а уравнение прямой x — ау = 2 — в виде у = (1/а)x — (2/а). Следовательно, для того, чтобы прямые совпадали, необходимо, чтобы коэффициенты при x и у в обоих уравнениях были равны. Это означает, что:
-1 = 1/а
а = -1
Подставим это значение в уравнение первой прямой:
x + у = -b
x — у = 2
Сложим эти уравнения и получим:
2x = -b + 2
Таким образом, для того, чтобы прямые совпадали, необходимо, чтобы b = -2. Подставим это значение в уравнение первой прямой и получим:
x + у = 2
Таким образом, прямые x + у = 2 и x — у = 2 совпадают.
