Вопрос школьника
При каких самых натуральных значениях а и Ь является правильным равенство:
1) 1 / (2 • 3) = a / 2 — b / 3; 2) 4 / (3 • 5) = a / 3 — b / 5?
Ответ от учителя
1) Рассмотрим первое уравнение:
1 / (2 • 3) = a / 2 — b / 3
Для начала упростим левую часть:
1 / (2 • 3) = 1 / 6
Теперь можем переписать уравнение в следующем виде:
1 / 6 = a / 2 — b / 3
Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:
1 = 3a — 2b
Теперь можем переписать уравнение в виде:
3a = 2b + 1
Заметим, что левая часть уравнения должна быть кратна 3, а правая — не должна быть кратна 3. Поэтому попробуем подставлять значения для b, начиная с 1:
b = 1: 2b + 1 = 3, не кратно 3
b = 2: 2b + 1 = 5, не кратно 3
b = 3: 2b + 1 = 7, не кратно 3
b = 4: 2b + 1 = 9, кратно 3
Таким образом, при b = 4 получаем:
3a = 2 • 4 + 1 = 9
a = 3
Проверим, что полученные значения удовлетворяют исходное уравнение:
1 / (2 • 3) = 3 / 2 — 4 / 3
1 / 6 = 9 / 6 — 8 / 6
1 / 6 = 1 / 6
Уравнение верно при a = 3 и b = 4.
2) Рассмотрим второе уравнение:
4 / (3 • 5) = a / 3 — b / 5
Упростим левую часть:
4 / (3 • 5) = 4 / 15
Перепишем уравнение:
4 / 15 = a / 3 — b / 5
Умножим обе части уравнения на 15, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:
4 = 5a — 3b
Теперь можем переписать уравнение в виде:
5a = 3b + 4
Заметим, что левая часть уравнения должна быть кратна 5, а правая — не должна быть кратна 5. Поэтому попробуем подставлять значения для b, начиная с 1:
b = 1: 3b + 4 = 7, не кратно 5
b = 2: 3b + 4 = 10, кратно 5
Таким образом, при b = 2 получаем:
5a = 3 • 2 + 4 = 10
a = 2
Проверим, что полученные значения удовлетворяют исходное уравнение:
4 / (3 • 5) = 2 / 3 — 2 / 5
4 / 15 = 10 / 15 — 6 / 15
4 / 15 = 4 / 15
Уравнение верно при a = 2 и b = 2.
Итак, самыми натуральными значениями a и b, при которых выполняются данные уравнения, являются:
1) a = 3, b = 4
2) a = 2, b = 2
