Вопрос школьника
При каких значениях a и b отрезки AC и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, если A (1; 2), B (–2; 5), C (a; 6) и D (–4; b)?
Ответ от учителя
Для того чтобы отрезки AC и BD пересекались и точкой пересечения делились пополам, необходимо, чтобы координаты точки пересечения были средними арифметическими координат точек A и B по соответствующим осям. То есть:
x-координата точки пересечения = (x-координата точки A + x-координата точки B) / 2
y-координата точки пересечения = (y-координата точки A + y-координата точки B) / 2
Подставим известные значения координат точек A, B, C и D в эти формулы:
x-координата точки пересечения = (1 + (-2)) / 2 = -0.5
y-координата точки пересечения = (2 + 5) / 2 = 3.5
Таким образом, точка пересечения отрезков AC и BD должна иметь координаты (-0.5; 3.5).
Далее, необходимо найти значения a и b, при которых отрезки AC и BD пересекаются в этой точке.
Уравнение прямой, проходящей через точки A и C, имеет вид:
(y — 2) / (x — 1) = (6 — 2) / (a — 1)
(y — 2) / (x — 1) = 4 / (a — 1)
Уравнение прямой, проходящей через точки B и D, имеет вид:
(y — 5) / (x + 2) = (b — 5) / (-2 — (-2))
(y — 5) / (x + 2) = (b — 5) / 0
Заметим, что знаменатель второй дроби равен нулю, что означает, что прямая BD параллельна оси OX и не пересекает ее. Следовательно, отрезки AC и BD пересекаются только при условии, что прямая AC не параллельна оси OX.
Рассмотрим уравнение прямой AC:
(y — 2) / (x — 1) = 4 / (a — 1)
Приведем его к общему виду:
y = (4 / (a — 1)) * (x — 1) + 2
y = (4x — 4) / (a — 1) + 2
y = (4x + 2a — 6) / (a — 1)
Таким образом, чтобы прямая AC не была параллельна оси OX, необходимо, чтобы коэффициент при x был ненулевым. Это означает, что a должно быть не равно 1.
Теперь найдем координаты точки пересечения отрезков AC и BD при произвольных значениях a и b:
(y — 2) / (x — 1) = 4 / (a — 1)
(y — 5) / (x + 2) = (b — 5) / 0
Заметим, что второе уравнение не содержит переменной x, поэтому можно найти значение y:
y — 5 = 0
y = 5
Подставим это значение в первое уравнение и найдем значение x:
(5 — 2) / (x — 1) = 4 / (a — 1)
3(a — 1) = 4(x — 1)
3a — 3 = 4x — 4
4x — 3a = 1
x = (3a + 1) / 4
Таким образом, координаты точки пересечения отрезков AC и BD при произвольных значениях a и b будут:
x = (3a + 1) / 4
y = 5
Чтобы точка пересечения делила отрезки AC и BD пополам, необходимо, чтобы расстояния от этой точки до точек A и B были равны. Расстояние между двумя точками можно найти по формуле:
d = √((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)
Подставим координаты точки пересечения и точек A и B в эту формулу:
d1 = √((1 — (3a + 1) / 4)^2 + (2 — 5)^2)
d2 = √(((-2) — (3a + 1) / 4)^2 + (5 — 5)^2)
Чтобы точка пересечения делила отрезки AC и BD пополам, необходимо, чтобы d1 = d2. Решим уравнение:
√((1 — (3a + 1) / 4)^2 + (2 — 5)^2) = √(((-2) — (3a + 1) / 4)^2 + (5 — 5)^2)
(1 — (3a + 1) / 4)^2 + (2 — 5)^2 = ((-2) — (3a + 1) / 4)^2
Решив это уравнение, получим два значения a:
a = -3/2 или a = 5/2
Подставим каждое из этих значений в формулу для x и найдем соответствующие значения b:
a = -3/2: x = (3a + 1) / 4 = (-7/2) / 4 = -7/8
(y — 2) / (x — 1) = 4 / (a — 1)
(y — 2) / (-15/8) = 4 / (-5/2)
y — 2 = 24/5
y = 14/5
b = 14/5
a = 5/2: x = (3a + 1) / 4 = (17/2) / 4 = 17/8
(y — 2) / (x — 1) = 4 / (a — 1)
(y — 2) / (9/8) = 4 / (3/2)
y — 2 = 24/9
y = 10/3
b = 10/3
Таким образом, отрезки AC и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам при значениях a = -3/2 и b = 14/5, а также при значениях a = 5/2 и b = 10/3.
