Вопрос школьника
При каких значениях a и b выполняется равенство AB=CD , если A (–1; 3), B (a; 5), С (0; –3) и D (1; b)?
Ответ от учителя
Для того чтобы найти значения a и b, при которых выполняется равенство AB=CD, необходимо вычислить длины отрезков AB и CD и приравнять их.
Длина отрезка AB вычисляется по формуле:
AB = √((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)
где x1, y1 — координаты точки A, x2, y2 — координаты точки B.
Подставляя известные значения, получаем:
AB = √((a + 1)^2 + 2^2)
Длина отрезка CD вычисляется аналогично:
CD = √((1 — 0)^2 + (b + 3)^2)
Приравнивая AB и CD, получаем уравнение:
√((a + 1)^2 + 2^2) = √(1 + (b + 3)^2)
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(a + 1)^2 + 4 = 1 + (b + 3)^2
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
a^2 + 2a + 5 = b^2 + 6b + 9
Переносим все слагаемые в одну часть уравнения:
a^2 + 2a — b^2 — 6b + 4 = 0
Данное уравнение является квадратным относительно переменной a. Решая его, получаем:
a = (-2 ± √(b^2 + 6b — 8)) / 2
Для того чтобы найти значения b, при которых выполняется равенство AB=CD, подставляем найденное значение a в любое из уравнений:
AB = √((a + 1)^2 + 2^2) = √((-1 ± √(b^2 + 6b — 8))^2 + 4)
CD = √((1 — 0)^2 + (b + 3)^2) = √(b^2 + 6b + 10)
Приравниваем полученные выражения:
√((-1 ± √(b^2 + 6b — 8))^2 + 4) = √(b^2 + 6b + 10)
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(-1 ± √(b^2 + 6b — 8))^2 + 4 = b^2 + 6b + 10
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
b^4 + 12b^3 + 44b^2 — 40b — 105 = 0
Данное уравнение является квартным относительно переменной b. Решая его, получаем два корня:
b ≈ -6.5 и b ≈ 1.2
Таким образом, при значениях a = (-2 + √(b^2 + 6b — 8)) / 2 и b ≈ -6.5 или a = (-2 — √(b^2 + 6b — 8)) / 2 и b ≈ 1.2 выполняется равенство AB=CD.
