Вопрос школьника
При нулевой начальной фазе гармонические колебания точки происходят таким образом, что: наибольшее значение скорости достигает величины vmax = 10 см/с, а максимальное ускорение аmax = 100 см/с2. Найти циклическую частоту ω, период Т и амплитуду А
Ответ от учителя
Для гармонических колебаний точки с нулевой начальной фазой, уравнение движения имеет вид:
x = A*sin(ωt)
где x — координата точки в момент времени t, A — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота.
Скорость точки определяется как производная координаты по времени:
v = dx/dt = A*ω*cos(ωt)
Максимальное значение скорости vmax достигается в момент времени, когда cos(ωt) = 1, то есть при t = 0. По условию задачи vmax = 10 см/с, поэтому:
vmax = A*ω*cos(0) = A*ω = 10 см/с
Отсюда получаем:
A = vmax/ω = 10 см/с / ω
Максимальное ускорение точки определяется как производная скорости по времени:
a = dv/dt = -A*ω^2*sin(ωt)
Максимальное значение ускорения amax достигается в момент времени, когда sin(ωt) = 1, то есть при t = π/2ω. По условию задачи amax = 100 см/с^2, поэтому:
amax = -A*ω^2*sin(π/2) = A*ω^2 = 100 см/с^2
Подставляем выражение для A из первого уравнения и получаем:
ω^2 = amax/vmax = 100 см/с^2 / 10 см/с = 10 с^-1
Отсюда находим циклическую частоту:
ω = √(10) с^-1
Период колебаний определяется как время, за которое точка проходит один полный цикл колебаний:
T = 2π/ω = 2π/√(10) с ≈ 1,99 с
Амплитуда колебаний равна:
A = vmax/ω = 10 см/с / √(10) с^-1 ≈ 3,16 см
Таким образом, циклическая частота колебаний точки равна √(10) с^-1, период колебаний — примерно 1,99 с, амплитуда колебаний — примерно 3,16 см.
