Вопрос школьника
При расширении идеального газа его давление менялось по закону р = b/V2, где b = const. Найдите молярную теплоемкость газа в указанном процессе
Ответ от учителя
Для нахождения молярной теплоемкости газа в указанном процессе необходимо использовать первый закон термодинамики:
dU = dQ — pdV
где dU — изменение внутренней энергии газа, dQ — полученное тепло, p — давление газа, V — его объем.
Так как газ идеальный, то можно использовать уравнение состояния идеального газа:
pV = nRT
где n — количество вещества газа, R — универсальная газовая постоянная, T — температура газа.
Дифференцируя это уравнение по времени, получим:
pdV + Vdp = nRdT
Так как давление газа меняется по закону p = b/V^2, то можно записать:
pdV = -2b dV/V^3
Vdp = nRdT + 2b dV/V^3
Подставляя это в первый закон термодинамики, получим:
dU = dQ + 2b dV/V^3 — nRdT
Молярная теплоемкость газа определяется как отношение полученного тепла к изменению его температуры:
C = dQ/dT
Для нахождения молярной теплоемкости в указанном процессе необходимо выразить dQ/dT из уравнения первого закона термодинамики:
dQ/dT = dU/dT + nR/T — 2b/T V^3 dV/dT
Так как газ идеальный, то его внутренняя энергия зависит только от температуры:
dU/dT = Cv
где Cv — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Также можно использовать уравнение состояния идеального газа для выражения V через p и T:
V = nRT/p
Дифференцируя это уравнение по времени, получим:
dV/dT = nR/p — nRT/p^2 dp/dT
Подставляя все выражения в формулу для dQ/dT, получим:
dQ/dT = Cv + nR/T — 2b/nRT (nRT/p)^3 (nR/p — T dp/dT)
Учитывая, что p = b/V^2, можно выразить dp/dT через dV/dT:
dp/dT = -2b/V^3 dV/dT
Подставляя это выражение, получим:
dQ/dT = Cv + nR/T — 2b/nRT (nRT/p)^3 (nR/p + 2b/T V^3 dV/dT)
Таким образом, молярная теплоемкость газа в указанном процессе равна:
C = Cv + nR/T — 2b/nRT (nRT/p)^3 (nR/p + 2b/T V^3 dV/dT)
где Cv — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, n — количество вещества газа, R — универсальная газовая постоянная, T — температура газа, b — постоянная, определяющая зависимость давления от объема.
