Вопрос школьника
При решении следующих задач воспользуйтесь формулой из задачи 475. а) Мяч отскочил от пола вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с. Через сколько секунд он снова коснётся пола? б) Мальчик бросил мяч вертикально вверх с начальной скоростью 12 м/с. Через сколько секунд он поймал мяч?
Ответ от учителя
Формула из задачи 475 выглядит следующим образом:
h = v0t + (gt^2)/2
где h — высота подъема мяча, v0 — начальная скорость, t — время полета, g — ускорение свободного падения (принимаем равным 9,8 м/с^2).
а) В данной задаче мяч отскочил от пола вертикально вверх, то есть начальная скорость направлена вверх и равна 10 м/с. Мяч поднимется на некоторую высоту, затем начнет падать и коснется пола. При этом высота подъема и падения мяча будет одинаковой, так как отскок происходит без потерь энергии. Значит, можно записать:
h = (gt^2)/2
Выразим из этого уравнения время t:
t = sqrt(2h/g)
Подставим значения: h = 10 м (высота подъема мяча), g = 9,8 м/с^2 (ускорение свободного падения).
t = sqrt(2*10/9.8) ≈ 1,43 сек
Ответ: через 1,43 секунды мяч снова коснется пола.
б) В данной задаче мальчик бросил мяч вертикально вверх с начальной скоростью 12 м/с. Мяч поднимется на некоторую высоту, затем начнет падать и мальчик должен поймать его на определенной высоте. Найдем эту высоту, используя формулу из задачи 475:
h = v0t + (gt^2)/2
Здесь h — высота, на которой мальчик должен поймать мяч, v0 — начальная скорость (12 м/с), t — время полета, g — ускорение свободного падения (9,8 м/с^2).
Так как мяч вернется на ту же высоту, на которой был брошен, то можно записать:
h = 12t — (gt^2)/2
Выразим из этого уравнения время t:
t = (12 ± sqrt(144 + 19.6h))/9.8
Здесь используется квадратное уравнение, которое получается из исходного уравнения путем переноса всех слагаемых в одну сторону и приведения подобных:
gt^2 — 24t + 2h = 0
Дискриминант этого уравнения равен:
D = 24^2 — 4*9.8*2h = 576 — 78.4h
Если дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней, что соответствует ситуации, когда мяч не достигнет заданной высоты. Поэтому необходимо рассмотреть два случая:
1. D ≥ 0
В этом случае уравнение имеет два корня:
t1 = (24 + sqrt(D))/19.6
t2 = (24 — sqrt(D))/19.6
Нужно выбрать тот корень, который соответствует времени полета мяча вверх (т.е. t1). Проверим, достигнет ли мяч заданной высоты:
h1 = 12t1 — (gt1^2)/2
Если h1 ≥ h, то мяч достигнет заданной высоты и мальчик сможет его поймать. Если h1 < h, то мяч не достигнет заданной высоты и мальчик не сможет его поймать. 2. D < 0 В этом случае уравнение не имеет действительных корней и мяч не достигнет заданной высоты. Подставим значения: v0 = 12 м/с, g = 9,8 м/с^2. D = 576 - 78.4h Если D < 0, то мяч не достигнет заданной высоты и мальчик не сможет его поймать. Если D ≥ 0, то: t1 = (24 + sqrt(D))/19.6 h1 = 12t1 - (gt1^2)/2 Если h1 ≥ h, то мяч достигнет заданной высоты и мальчик сможет его поймать. Если h1 < h, то мяч не достигнет заданной высоты и мальчик не сможет его поймать. Ответ: время, через которое мальчик поймает мяч, зависит от высоты, на которой он должен его поймать. Если мяч должен быть пойман на высоте, равной или большей, чем h1, то время полета равно t1. Если мяч должен быть пойман на высоте, меньшей, чем h1, то мяч не достигнет заданной высоты и мальчик не сможет его поймать.
