Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — При яких натуральних значеннях n значення виразу:
1) 3n + 2 кратне числу 2; 2) 4n + 3 кратне числу 3?
Ответ от учителя
1) Чтобы выражение 3n + 2 было кратно числу 2, необходимо, чтобы оно было четным. Четными являются только те числа, которые делятся на 2 без остатка. Таким образом, выражение 3n должно быть нечетным, чтобы прибавление 2 дало четное число. Нечетными являются все числа вида 2k + 1, где k — целое число. Значит, 3n должно быть равно 2k + 1, откуда получаем:
3n = 2k + 1
n = (2k + 1) / 3
Таким образом, при любых натуральных значениях k выражение 3n + 2 будет кратно числу 2.
2) Аналогично, чтобы выражение 4n + 3 было кратно числу 3, необходимо, чтобы оно было кратно 3. Кратными 3 являются только те числа, которые делятся на 3 без остатка. Таким образом, выражение 4n должно давать остаток 0 при делении на 3. Остатки при делении на 3 для чисел вида 4n равны остаткам от деления чисел вида n на 3. То есть, если n дает остаток 0 при делении на 3, то 4n даст остаток 0 при делении на 3. Если n дает остаток 1 при делении на 3, то 4n даст остаток 1 при делении на 3. Если n дает остаток 2 при делении на 3, то 4n даст остаток 2 при делении на 3. Таким образом, чтобы выражение 4n + 3 было кратно числу 3, необходимо, чтобы n давал остаток 2 при делении на 3. Значит, n можно записать в виде n = 3k + 2, где k — целое число. Тогда:
4n + 3 = 4(3k + 2) + 3 = 12k + 11
Таким образом, при любых натуральных значениях k выражение 4n + 3 будет кратно числу 3.
