Вопрос школьника
Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 4 и на 15 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Ответ от учителя
Пусть искомое число имеет вид $abc$, где $a$, $b$ и $c$ — цифры. Тогда условие задачи можно записать в виде системы уравнений:
begin{cases} abc equiv b pmod{4} \ abc equiv c pmod{15} \ b = frac{a+c}{2} end{cases}
Первое уравнение означает, что число $abc$ даёт остаток $b$ при делении на 4. Заметим, что любое трёхзначное число даёт остаток 0, 1 или 3 при делении на 4. Однако, если $b=0$, то $a=c$, что противоречит третьему уравнению. Если $b=1$, то $a+c=2$, что также противоречит третьему уравнению. Если $b=3$, то $a+c=6$, откуда $b=3$, что противоречит начальному условию. Значит, $b=2$.
Второе уравнение означает, что число $abc$ даёт остаток $c$ при делении на 15. Заметим, что любое трёхзначное число даёт остаток 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 или 14 при делении на 15. Однако, если $c=0$, то $abc$ делится на 10, что противоречит начальному условию. Если $c=5$, то $abc$ делится на 5, что противоречит начальному условию. Если $c=10$, то $abc$ делится на 2, что противоречит начальному условию. Если $c=15$, то $abc$ делится на 15, что противоречит начальному условию. Если $c=1$, то $abc$ даёт остаток 2 при делении на 4, что противоречит начальному условию. Если $c=3$, то $abc$ даёт остаток 2 при делении на 4 и остаток 3 при делении на 5, что противоречит начальному условию. Если $c=6$, то $abc$ даёт остаток 2 при делении на 4 и остаток 6 при делении на 5, что противоречит начальному условию. Если $c=9$, то $abc$ даёт остаток 2 при делении на 4 и остаток 9 при делении на 5, что противоречит начальному условию. Если $c=12$, то $abc$ даёт остаток 2 при делении на 4 и остаток 12 при делении на 5, что противоречит начальному условию. Если $c=14$, то $abc$ даёт остаток 2 при делении на 4 и остаток 14 при делении на 5, что противоречит начальному условию. Значит, $c=4$.
Третье уравнение означает, что $a+c=4$. Таким образом, $a$ и $c$ — это две цифры, которые в сумме дают 4. Единственная пара таких цифр — это 1 и 3. Значит, $a=1$ и $c=3$.
Итак, искомое число равно $abc=123$. Проверим, что оно удовлетворяет всем условиям задачи:
begin{align*} 123 &equiv 3 pmod{4} \ 123 &equiv 3 pmod{15} \ 2 &= frac{1+3}{2} end{align*}
Ответ: boxed{123}.
