Вопрос школьника
Прочитай выражения и сравни их значения, если a = -5,4, b = 0,84: | a + b | и | а | + | b |. Сравни эти же выражения еще для нескольких значений а и Ь, взятых по собственному выбору. Сформулируй гипотезу и попробуй доказать ее в общем виде.
Ответ от учителя
Выражение | a + b | означает модуль суммы чисел a и b, а выражение | а | + | b | — модуль абсолютных значений чисел a и b, сложенных между собой.
При a = -5,4 и b = 0,84:
| a + b | = |-5,4 + 0,84| = 4,56
| а | + | b | = |-5,4| + |0,84| = 5,24
Таким образом, значения этих выражений различны.
При других значениях a и b можно провести аналогичные вычисления и сравнить результаты.
Например, при a = 3 и b = -2:
| a + b | = |3 — 2| = 1
| а | + | b | = |3| + |-2| = 5
Опять же, значения различны.
Гипотеза: выражение | a + b | всегда меньше выражения | а | + | b |.
Доказательство:
Пусть a и b — произвольные числа.
Тогда | a + b | = | b + a | <= | a | + | b | (неравенство треугольника) Следовательно, выражение | a + b | всегда меньше или равно выражению | а | + | b |. Пример: При a = 2 и b = 3: | a + b | = |2 + 3| = 5 | а | + | b | = |2| + |3| = 5 В данном случае значения выражений равны, но это не противоречит гипотезе, так как мы доказали, что | a + b | <= | а | + | b |. Таким образом, гипотеза подтверждается.
