Вопрос школьника
Продолжения боковых сторон АВ и СП трапеции АВС И пересекаются в точке Е. Найдите площадь трапеции, если ВС : АП = 3 : 5, а площадь треугольника АЕD равна 175 см2
Ответ от учителя
Пусть точка D лежит на боковой стороне АВ, а точка F лежит на боковой стороне СП так, что DF || АС. Тогда получим, что трапеция АВС разбивается на два треугольника и трапецию АDEF:
Площадь треугольника АЕD равна 175 см2, а значит, высота треугольника АЕD равна:
h = (2 * S) / AD = (2 * 175) / AD = 350 / AD
Так как DF || АС, то треугольники АЕD и СEF подобны, а значит, отношение их высот равно отношению соответствующих сторон:
h / CE = AD / BC
h / (BC — AP) = AD / BC
350 / (BC — AP) = AD / BC
350BC = AD * (BC — AP)
Также из условия задачи известно, что ВС : АП = 3 : 5, а значит, BC = AP + ВС = AP + 3АП/5 = 8АП/5. Подставляем это значение в предыдущее уравнение:
350 * 8АП/5 = AD * (8АП/5 — АП)
AD = 140
Теперь можем найти высоту трапеции:
h = 350 / AD = 350 / 140 = 2.5 см
Площадь трапеции равна:
S = ((AB + CD) * h) / 2 = ((AP + BC) * h) / 2 = ((AP + 8АП/5) * 2.5) / 2 = (9АП/4) * 2.5 = 22.5АП
Осталось найти АП. Из условия задачи известно, что ВС : АП = 3 : 5, а значит, АП = 5BC/8 = 5/8 * (AP + ВС) = 5/8 * (AP + 3АП/5) = 7АП/8. Отсюда получаем:
АП = 8/7 * ВС/3 = 8/7 * h = 20/7 см
Теперь можем найти площадь трапеции:
S = 22.5АП = 22.5 * 20/7 = 64.29 см2
Ответ: площадь трапеции АВС равна 64.29 см2.
