Вопрос школьника
Продолжения боковых сторон равнобедренной трапеции пересекаются под углом 120°. Найдите длину меньшего основания трапеции, если её площадь равна 65 + 25√3 , а высота равна 5.
Ответ от учителя
Пусть меньшее основание трапеции равно a, а большее основание равно b. Так как трапеция равнобедренная, то её высота h является медианой и биссектрисой. Тогда мы можем записать следующую систему уравнений:
$$begin{cases} h^2 + left(frac{b-a}{2}right)^2 = 5^2 \ h^2 = frac{b^2-a^2}{4} end{cases}$$
Решая эту систему, мы получаем:
$$begin{cases} b-a = 2sqrt{19} \ b+a = frac{20sqrt{3}}{3} end{cases}$$
Отсюда находим:
$$b = frac{10sqrt{3}}{3} + sqrt{19}, quad a = frac{10sqrt{3}}{3} — sqrt{19}$$
Теперь можем найти площадь трапеции:
$$S = frac{(a+b)h}{2} = frac{20sqrt{3}}{3} cdot 5 = 100sqrt{3}$$
Сравнивая это с данными из условия, мы получаем:
$$65 + 25sqrt{3} = 100sqrt{3} Rightarrow sqrt{3} = frac{13}{20}$$
Подставляя это значение в выражения для a и b, мы находим:
$$b = frac{10sqrt{3}}{3} + sqrt{19} = frac{130}{9}, quad a = frac{10sqrt{3}}{3} — sqrt{19} = frac{70}{9}$$
Ответ: меньшее основание трапеции равно $frac{70}{9}$.
